一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.线性方程组 的解为( A )
A. B.
C. D.
2.设矩阵 ,则矩阵 的伴随矩阵 ( D )
A. B. C. D.
3.设 为 矩阵,若秩( )=4,则秩( )为( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.设 分别为 和 矩阵,向量组(I)是由 的列向量构成的向量组,向量组(Ⅱ)是由 的列向量构成的向量组,则必有( C )
A.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性无关 B.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性相关
C.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性无关 D.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性相关
5.设 为5阶方阵,若秩( )=3,则齐次线性方程组 的基础解系中包含的解向量的个数是( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.设 矩阵 的秩为 ,且 是齐次线性方程组 的两个不同的解,则 的通解为( )
A. , B. , C. , D. ,
的基础解系包含1个解向量.
是不同的解, 是非零解,可以作为基础解系,通解为 , . |
7.对非齐次线性方程组 ,设秩( )=r,则( )
A.r=m时,方程组 有解 B.r=n时,方程组 有唯一解
C.m=n时,方程组 有唯一解 D.r<n时,方程组 有无穷多解
8.设矩阵 ,则 的线性无关的特征向量的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
特征值为 , , .
对于 , ,基础解系含1个解向量;
对于 , ,基础解系含1个解向量;
对于 , ,基础解系含1个解向量. |
9.设向量 ,则下列向量是单位向量的是( B )
A. B. C. D.
10.二次型 的规范形是( D )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.3阶行列式 __1__.
12.设 , ,则 .
13.设 为3阶方阵,若 ,则 __-54__.
14.已知向量 , ,如果 ,则 .
15.设 为3阶非奇异矩阵,则齐次线性方程组 的解为 .
16.设非齐次线性方程组 的增广矩阵为 ,则该方程组的通解为 .
17.已知3阶方阵 的特征值为 ,则 __-1__.
18.已知向量 与向量 正交,则 __2__.
19.二次型 的正惯性指数为__3__.
20.若 为正定二次型,则 的取值应满足 .
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式 .
解: .
22.设 , ,又 ,求矩阵 .
解:
, ,
.
23.设矩阵 , ,求矩阵 的秩.
解: , 可逆,而 的秩为3,所以 的秩为3.
24.求向量组 , , 的秩.
解: , 的秩为2.
25.求齐次线性方程组 的一个基础解系.
解: ,
,基础解系为 , .
26.设矩阵 ,求可逆矩阵 ,使 为对角矩阵.
解:A的特征多项式为
,
特征值为 , .
对于 ,解齐次方程组 :
, ,取 , .
对于 ,解齐次方程组 :
, ,取 .
令 ,则 是可逆矩阵,使 .
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.设向量组 线性无关, , , ,证明:向量组 线性无关.
证:设 ,即
,
,
因为 线性无关,必有 ,
,
方程组只有零解: ,所以 线性无关.