一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设 , , 为同阶方阵,下面矩阵的运算中不成立的是( C )
A. B.
C. D.
2.已知 ,那么 ( B )
A. B. C. D.12
3.若矩阵 可逆,则下列等式成立的是( C )
A. B. C. D.
4.若 , , ,则下列矩阵运算的结果为 矩阵的是( D )
A. B. C. D.
5.设有向量组 : ,其中 线性无关,则( A )
A. 线性无关 B. 线性无关
C. 线性相关 D. 线性相关
6.若四阶方阵 的秩为3,则( B )
A. 为可逆阵 B.齐次方程组 有非零解
C.齐次方程组 只有零解 D.非齐次方程组 必有解
7.设 为 矩阵,则 元齐次线性方程 存在非零解的充要条件是( B )
A. 的行向量组线性相关 B. 的列向量组线性相关
C. 的行向量组线性无关 D. 的列向量组线性无关
存在非零解的充要条件是 ,即 的列向量组线性相关. |
8.下列矩阵是正交矩阵的是( A )
A. B.
C. D.
9.二次型 ( 为实对称阵)正定的充要条件是( D )
A. 可逆 B.
C. 的特征值之和大于0 D. 的特征值全部大于0
10.设矩阵 正定,则( C )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设 , ,则 _____________.
12.若 ,则 _____________.
13.设 ,则 _____________.
14.已知 ,则 _____________.
15.向量组 的秩为_____________.
16.设齐次线性方程 有解 ,而非齐次线性方程且 有解 ,则 是方程组_____________的解.
17.方程组 的基础解系为_____________.
18.向量 正交,则 _____________.
19.若矩阵 与矩阵 相似,则 _____________.
20.二次型 对应的对称矩阵是_____________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.求行列式 的值.
解:
.
22.已知 , , , ,矩阵 满足方程 ,求 .
解:由 ,得 ,于是
.
23.设向量组为 , , , ,求向量组的秩,并给出一个极大线性无关组.
解:
,
向量组的秩为2, 是一个极大线性无关组.
24.求 取何值时,齐次方程组 有非零解?并在有非零解时求出方程组的通解.
解:
, 或 时,方程组有非零解;
时,
, ,通解为 , 为任意实数;
时,
, ,通解为 , 为任意实数.
25.设矩阵 ,求矩阵 的全部特征值和特征向量.
解:
,特征值 , .
对于 ,解齐次线性方程组 :
, ,基础解系为 , ,对应的全部特征向量为 , 是任意不全为零的常数;
对于 ,解齐次线性方程组 :
, ,基础解系为 ,对应的全部特征向量为 , 是任意非零常数.
26.用配方法求二次型 的标准形,并写出相应的线性变换.
解:
作可逆线性变换
,
得标准形
.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.证明:若向量组 线性无关,而
,
则向量组 线性无关的充要条件是 为奇数.
证:设 ,即 ,
由 线性无关,可得齐次方程组 ,其系数行列式
,
当且仅当 为奇数时, ,齐次方程组只有零解, 线性无关.